1.6 Uno sguardo alla matematica..

Vedremo in seguito gli strani anelli (9) presenti nelle opere artistiche di Escher o in quelle musicali di Bach. In tutti essi, e nel loro conflitto tra finito e infinito si avverte un forte senso di paradosso, legato ad un sottofondo matematico che è possibile percepire in quasi ogni opera. Parlando però di paradossi strettamente inerenti al campo della matematica non si può non presentare il personaggio di Kurt Gödel, matematico statunitense di origine Boema ritenuto il più grande logico di tutto il XX secolo.

A lui si deve la scoperta di uno strano anello in un sistema matematico, basato sulla semplice intuizione di tradurre in termini matematici l’ antico paradosso filosofico di Epimenide (anche detto paradosso del mentitore). Versioni successive alla prima «Tutti i cretesi sono bugiardi» furono «Io sto mentendo» e «Questo enunciato è falso». Quest’ultimo in particolare (ma di riflesso infondo anche gli altri due) violava la consuetia assunzione che tutti gli enunciati siano suddivisibili in veri e falsi: se l’enunciato è vero allora è falso ma se si prova a pensare che sia falso si viene subito ricondotti all’idea che sia vero.
Gödel pensò di utilizzare il ragionamento matematico per esplorare il ragionamento matematico. Egli rese così la matematica “introspettiva” e fu questo che lo condusse alla sua scoperta: il Teorema di Incompletezza(10).
Lo strano anello tuttavia non stava nel Teorema ma nella sua dimostrazione il cui cardine era la scrittura di un enunciato matematico autoreferenziale basato sullo stesso principio del paradosso del mentitore. Il matematico intuì che un enunciato di aritmetica poteva parlare di un enunciato di aritmetica (o di sé stesso) purchè fosse possibile rappresentare gli enunciati mediante numeri. Codificò così tutti gli enunciati, dopodichè trapiantò il paradosso di Epimenide nell’aritmetica con la seguente forma: «Questo enunciato dell’aritmetica non ammette alcuna dimostrazione» (11).
Mentre l’enunciato di Epimenide crea un paradosso poiché non è né vero né falso, l’enunciato di Gödel non è dimostrabile ma è vero. Esso mette quindi in evidenza la debolezza della nozione di dimostrabilità e l’impossibilità, per qualsiasi sistema di rappresentare la complessità dei numeri interi.
Un altro enunciato molto interessante, cardine della matematica sin da tempi molto antichi, è il famoso Teorema di Euclide secondo cui «Esiste un’infinità di numeri primi». La dimostrazione di Euclide è molto semplice, chiara, irrefutabile. Con una serie di piccole ed elementari operazioni ci porta di volta in volta prove evidenti senza mai arrivare tuttavia all’evidenza del risultato finale. Non potremo mai verificare direttamente la veridicità dell’enunciato. Potrebbero esistere sempre più numeri primi di quelli fino ad ora contati.
Ritornando per un istante a Gödel vorrei riportare qui di seguito alcuni passi di un articolo scritto dal filosofo J.R. Lucas nel 1961: Minds, Machines and Gödel nella speranza di stimolare l’interesse verso un’applicazione informatico/meccanica del problema che purtroppo non avremo qui tempo di affrontare:

Quando per la prima volta e nel modo più semplice si tenta di filosofare, ci si impergola nel problema se, quando si sa una cosa, si sappia di saperla e quale sia l’oggetto di riflessione quando si riflette su se stessi e da che cosa sia condotta questa riflessione. Dopo essere stati a lungo sconcertati e tormentati da questo problema, si impara a non insistere su tali domande […] Dicendo che un essere cosciente sa una cosa, non solo si dice che esso la sa, ma che sa di saperla e che sa di sapere di saperla, e così via, per tutte le volte che ci piaccia porre la domanda: si riconosce di essere di fronte ad un’infinità, ma non si tratta di un regresso all’infinito nel senso negativo, poiché sono le domande e non le risposte che si esauriscono dato che sono inutili. Si sente che le domande sono inutili perché il concetto contiene in sé l’idea della capacità di continuare all’infinito a rispondere a siffatte domande. […]
I paradossi della coscienza nascono perché un essere cosciente può essere consapevole di sé stesso, come di altre cose, eppure non può essere realmente come fosse divisibile in parti. Ciò significa che un essere cosciente riesce ad affrontare problemi gödeliani in un modo che alla macchina è precluso, poiché un essere cosciente può prendere in considerazione tanto sé stesso quanto le proprie operazioni e nello stesso tempo non essere diverso da ciò che ha compiuto quelle operazioni. Una macchina può essere costruita, per così dire, in modo da “prendere in considerazione” le proprie operazioni, ma non può farlo senza diventare con questo una macchina diversa, cioè la vecchia macchina con in più una “parte nuova”. […]
La tesi comincia così ad assumere il carattere di un’analisi concettuale più che di una scoperta matematica. Ciò viene confermato se si considera un’altra argomentazione di Turing. Finora abbiamo costruito soltanto artefatti piuttosto semplici e prevedibili; può darsi che via via accrescendo la complessità delle nostre macchine, ci attendano sorprese. Egli fa un parallelo con il reattore a fissione: sotto una certa dimensione “critica” non accade gran che, ma superata la dimensione critica cominciano a sprizzare faville. Lo stesso, forse, accade per i cervelli e per le macchine. […] Turing vuol suggerire che è solo una questione di complessità e che, oltre un certo livello di complessità, compare una differenza qualitativa, talchè le macchine “subcritiche” saranno del tutto diverse da quelle immaginate finora.
Può darsi. Spesso la complessità introduce differenze qualitative. Benchè non sembri plausibile, potrebbe accadere che, oltre un certo livello di complessità, il comportamento di una macchina non sia più prevedibile, neppure in linea di principio, e che essa cominci ad agire di propria iniziativa; o, per impiegare un’espressione molto significativa, essa potrebbe cominciare ad avere una mente propria. Potrebbe cominciare ad avere una mente propria. Comincerebbe ad avere una mente propria quando non fosse più totalmente prevedibile e docile ma fosse capace di fare cose che noi giudicheremmo intelligenti (e non solo errori o uscite casuali), ma che non avevamo immesso al momento della programmazione. Ma allora essa cesserebbe di essere una macchina, nel significato proprio del termine. […] Per la tesi meccanicistica è essenziale che il modello meccanico della mente funzioni secondo “princìpi meccanici”, cioè che si riesca a capire il funzionamento del tutto in termini del funzionamento delle sue parti; e che il funzionamento di ciascuna parte sia determinato dal suo stato iniziale e di come la macchina è stata costruita oppure sia frutto di una scelta casuale tra un numero determinato di funzionamenti determinati. Se il meccanicista fabbrica una macchina tanto complicata che per essa tutto ciò non valga più, allora, ai fini della nostra discussione, quella non è più una macchina, indipendentemente da come è stata costruita. Dovremo dire piuttosto che egli ha creato una mente […]. Non si riuscirebbe a dire ciò che essa farà in base alla sola conoscenza del modo in cui è stata costruita e dello stato iniziale delle sue parti; non si riuscirebbe neppure a definire i limiti di ciò che essa potrebbe fare, perché, anche messa di fronte a una domanda di tipo gödeliano, fornirebbe la risposta giusta. In poche parole dovremmo dire che, di fatto, qualunque sistema che non sia sconfitto dal problema di Gödel eo ipso non è una macchina di Turing, cioè non è una macchina nel senso legittimo del termine.

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(9) Termine coniato da D. R. Hofstadter nel suo libro Gödel, Escher, Bach: un’Eterna Ghirlanda Brillante per definire un fenomeno che consiste nel fatto di ritrovarsi, inaspettatamente, salendo o scendendo lungo i gradini di qualche sistema gerarchico al punto di partenza.
(10) Tutte le assiomazioni coerenti dell’aritmetica contengono proposizioni indecidibili
(11) Riferendosi con il termine dimostrazione ad un’argomentazione che si svolge entro un determinato sistema di proposizioni che sono nel suo caso quelle dei Principia Mathematica.